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Algèbre 4 (for PCE students) Description

Key Elements

Code

M1108

Formation

BS MISPCE (M: Mathematics, I: Computer Science, S: Statistics, P: Physics, C: Chemistry, E: Electronics)

Semester

2

Credits

6

Number of Teaching Hours

60

Number of Tutoring Sessions

0

Number of Laboratory Sessions

0

Content

Objective

Content

-Structures algébriques : Groupes : Définition d’un groupe, propriétés de la loi d’un groupe, sous-groupe, morphisme de groupes, noyau et image. Anneaux, corps : Définition, propriétés, sous-anneau, morphisme d’anneaux, noyau et image, corps. - Espaces vectoriels : Structure d’espace vectoriel (K=R ou C) : définition, exemples et propriétés, combinaison linéaire. Sous-espace vectoriel : définition, sous-espace engendré par une partie, somme et somme directe de sous-espaces vectoriels avec caractérisations et exemples. Famille libre, famille génératrice, base, dimension d’un espace vectoriel, espace vectoriel de dimension finie (on admet l’existence d’une base), dimension d’un espace vectoriel, théorème de la base incomplète (énoncé), sous-espace vectoriel en dimension finie, rang d’une famille de vecteurs, dimension d’une somme (directe puis quelconque). -Applications linéaires : Définition, propriétés et exemples, endomorphisme, isomorphisme, automorphisme, opérations (addition, multiplication par scalaire, composée, inverse lorsque l’application est bijective), espace vectoriel des applications linéaires. Applications linéaires particulières (projecteur, symétrie). Noyau, image, image et image réciproque d’un sous-espace vectoriel par une application linéaire, caractérisation de l’injectivité. Etude en dimension finie : Détermination de l’application linéaire par la donnée de l’image d’une base, définition et caractérisation du rang d’une application linéaire, caractérisation de l’injectivité, surjectivité et bijectivité en termes du rang, théorème du rang (sans démonstration). - Matrices et applications linéaires : Représentation matricielle d’un vecteur dans une base donnée, matrice d’une application linéaire et propriétés (matrice d’une combinaison linéaire, d’une composée, de l’inverse), dimension de l’espace des applications linéaires. Changement de base : Matrice de passage, formule de changement de base pour un vecteur, formule de changement de bases pour une application linéaire, cas particulier d’un endomorphisme, description en termes de matrices équivalentes (ou semblables). Rang d’une matrice, opérations élémentaires sur les matrices et invariance du rang. -Déterminants : Déterminant d’une matrice carrée, propriétés et calcul pratique. -Systèmes linéaires : Systèmes linéaires, formule de Cramer, forme échelonnée. -Réduction des matrices : Valeurs propres et vecteurs propres, spectre, caractérisation d’une valeur propre, sous-espace propre, polynôme caractéristique et caractérisation des valeurs propres comme racines du polynôme caractéristique, lien entre dimension d’un sous-espace propre et ordre de multiplicité. Diagonalisation : définition et propriétés, différentes caractérisations.